Как решить тригонометрических неравенства?

Как и обещал, даю решение первого неравенства.

tg(x/2)-tg(x/3)>0,

(sin(x/2-x/3)/(cos(x/2)*cos(x/3))>0,

(sin(x/6)/(cos(x/2)*cos(x/3))>0

Имеем произведение трех независимых функций. Их произведение положительно, когда все три сомножителя положительны, или пара сомножителей отрицательна. Значит произведение будет менять знак когда один из сомножителей равен нулю. Эти нулевые значения разбивают всю числовую ось на интервалы, в каждом из которых знак произведения – постоянен. Значит неравенство можно решать методом интервалов.

Найдем нулевые значения для каждого сомножителя.

(sin(x/6)=0, x/6=Пи*k, х=6* Пи*k, где k - любые целые значения. т. е. значения х=…-12Пи; -6Пи; 0; 6Пи;, 12Пи…

(cos(x/2)=0, x/2=Пи/2+Пи*m, x=Пи+2*Пи*m, где m - любые целые значения, не связанные с "k". т. е. значения х=…-5Пи; -3Пи; -Пи; Пи; 3Пи; 5Пи…

cos(x/3)=0, x/3=Пи/2+Пи*r, x=1,5*Пи+3*Пи*r, где r- любые целые значения, не связанные с "k" и "m", т. е. значения х=… -7,5Пи; -4,5Пи; -1,5Пи; 1,5Пи; 4,5Пи; 7,5Пи….

Видим, что для общим для всех трех функций является период 6*Пи.

Расставим "нулевые значения на "отрезке (0; 6*Пи).

0; Пи; 1,5Пи; 3Пи; 4,5Пи; 5Пи; 6Пи.

На отрезке (0;Пи) выберем произвольное значение, например Пи/2. И определим знаки сомножителей.

sin(Пи/12)>0; cos(Пи/4)>0; cos(Пи/6)>0. Значит на отрезке (0; Пи) произведение положительно, тогда на отрезке (Пи; 1,5Пи) – отрицательно, на отрезке (1,5Пи; 3Пи) – положительно, на отрезке (3Пи; 4,5Пи) – отрицательно, на отрезке (4,5Пи; 5Пи) – положительно, на отрезке (5Пи; 6Пи) – отрицательно.

Итак , в одном периоде (0;6Пи) решениями являются интервалы (0; Пи), (1,5Пи; 3Пи) и (4,5Пи; 5Пи).

В общем, получается три серии решений:

Пи*6n