Как решить систему дифференциального уравнения?

Всё просто..

Систему из двух линейных дифуравнений можно преобразовать одно в линейное дифуравнение второго порядка..

Для этого например находим у из первого уравнения:

y=6x-x'

Дифференцируем его:

y'=6x'-x''

Теперь подставляем во второе уравнение:

6x'-x''=3x+2(6x-x')

Теперь приводим:

6x'-x''-3x-12x+2x'=0

Окончательно получаем дифуравнение второго порядка:

-x''+8x'-15x=0

Решаем это уравнение, оно имеет только свободную составляющую..

Находим решение квадратного алгебраического уравнения:

-x^2+8x-15=0

x1=5

x2=3

Оба корня действительные..

Тогда решение уравнения может быть выглядеть:

x(t)=C1e^5t+C2e^3t

Теперь ищем постоянные интегрирования:

x(0)=C1+C2

x'(0)=5C1+3C2

Откуда решая систему получим:

C2=(5x(0)-x'(0))/2

C1=(-3x(0)+x'(0))/2

Из первого уравнения:

y=6x-x'

x'=5C1e^5t+3C2e^3t

Откуда:

y(t)=6(C1e^5t+C2e^3t)-5C1e^5t-3C2e^3t

Окончательно:

y(t)=C1e^5t+3C2e^3t

Постоянные интегрирования через нулевые начальные условия по x и у:

x(0)=C1+C2

y(0)=C1+3C2

Откуда:

С1=(3х(0)-у(0))/2

С2=(х(0)-у(0))/2

Подставляем и получаем окончательные решения:

x(t)=((3x(0)-y(0))/2)e^5t+((x(0)-y(0))/2)e^3t

y(t)=((3x(0)-y(0))/2)e^5t+(3(x(0)-y(0))/2)e^3t

Всё просто..

Систему из двух линейных дифуравнений можно преобразовать одно в линейное дифуравнение второго порядка..

Для этого например находим у из первого уравнения:

y=6x-x'

Дифференцируем оное:

y'=6x'-x''

Теперь подставляем во второе уравнение:

6x'-x''=3x+2(6x-x')

Теперь приводим:

6x'-x''-3x-12x+2x'=0

Окончательно получаем дифуравнение второго порядка:

-x''+8x'-15x=0

Решаем это уравнение, оно имеет только свободную составляющую..

Находим решение квадратного алгебраического уравнения:

-x^2+8x-15=0

x1=5

x2=3

Оба корня действительные..

Тогда решение уравнения может быть выглядеть:

y(t)=C1e^5+C2e^3

Теперь ищем постоянные интегрирования:

y(0)=C1+C2

y'(0)=5C1+3C2

Откуда решая систему получим:

C2=(5y(0)-y'(0))/2

C1=(-3y(0)+y'(0))/2

Из второго уравнения:

x(t)=(y'-2y)/3

x(t)=(5C1e^5+3C2e^3-2(C1e^5+C2e^3))/3

Откуда:

x(t)=(5C1e^5+3C2e^3-2C1e^5-2C2e^3)/3

x(t)=(3C1e^5+C2e^3)/3