Как решить однородную систему уравнений?

{ x1 + 3x2 - x3 - 6x4 = 0

{ 7x1 + 3x2 + 2x3 - 15x4 = 0

{ 5x1 - 3x2 + 4x3 - 3x4 = 0

smog2605 все правильно сказал - решение полностью в числах не существует,

потому что система неопределенная - переменных больше, чем уравнений.

Умножаем 1 уравнение на -5, а 2 уравнение на 2, и складываем их

Умножаем 3 уравнение на -2 и складываем с 1 уравнением

{ x1 + 3x2 - x3 - 6x4 = 0

{ 9x1 - 9x2 + 9x3 + 0x4 = 0

{ -9x1 + 9x2 -9x3 + 0x4 = 0

Получилось, что 2 и 3 уравнение одинаковые, но это не страшно.

Это означает, что у нас 2 уравнения и 4 неизвестных. То есть 2 независимых неизвестных и 2 зависимых.

Оставляем 2 уравнение и делим его на 9

{ x1 + 3x2 - x3 - 6x4 = 0

{ x1 - x2 + x3 = 0

Складываем уравнения

{ x1 + 3x2 - x3 - 6x4 = 0

{ 2x1 + 2x2 + 0x3 = 0

Делим 2 уравнение на 2

{ x1 + 3x2 - x3 - 6x4 = 0

{ x1 + x2 = 0

x2 = -x1, подставляем в 1 уравнение

x1 - 3x1 - x3 - 6x4 = 0

x3 + 6x4 = -2x1

Выбираем x4 как независимую переменную

Решение:

x1 и x4 - любые

x2 = -x1

x3 = -2x1 - 6x4

Вот и все

В привычном понимании решение для этой задачи не существует, но они рассматриваются в разделе аналитическая геометрия.

Условное решение существует только если одну из переменных определить числом. И вот для каждого значения этой переменной будет существовать ответ для трех оставшихся. Попробуем.

Х1+3Х2-Х3-6Х4=0

7Х1+3Х2+2Х3-15Х4=0

5Х1-3Х2+4Х3-3Х4=0

Преобразуем систему

-Х1+Х3+6Х4=3Х2

-7Х1-2Х3+15Х4=3Х2

5Х1+4Х3-3Х4=3Х2

Теперь обозначим 3Х2=К т будем считать что К постоянное число

-Х1+Х3+6Х4=К

-7Х1-2Х3+15Х4=К

5Х1+4Х3-3Х4=К

Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Решаем любым доступным способом. Если не ошибся, получаем.

Х1=1,31К

Х3=-8,73К

Х4=1,84К

Или

Х1=3,93Х2

Х3=-26,19Х2

Х4=5,52Х2

Получили зависимость переменных Х1 Х3 Х4 от переменной Х2

Это наверное уже четвертое измерение, тяжело себе представить это графически, но можно попробовать. Если изменять Х2 от -? до +? , то мы получим бесконечное количество комбинаций Х1 Х3 Х4. Каждая из этих комбинаций есть координата точки в декартовой системе координат. Если все эти точки построить на одном чертеже, то получится какая то не вообразимая кривая поверхность. По всей видимости это и будет решением.

Безусловно эту систему можно решить и в другой зависимости. Например зависимость.

Х2 Х3 Х4 от переменной Х1

Х1 Х2 Х4 от переменной Х3

Х1 Х2 Х3 от переменной Х4

Системы уравнений могут иметь однозначное решение только в том случае, когда количество неизвестных равно количеству "независимых уравнений" (т.е. ни одно из них невозможно получить линейной комбинацией других). В Вашей задаче неизвестных 4, а уравнений только 3 (не проверял, являются ли они независимыми), значит оно не может быть решено.

Прошу прощения, я давно закончила универ, не помню точно что такое крамер, гаусс смутно помнится, но мне кажется что так:

1)матрица

1 3 -1 -6

7 3 2 -15

5 -3 4 -3

2)Нашли единицу в 1-ом столбце в 1-ой строке

3)Умножили 1-ую строку на 7

7 21 -7 -42

7 3 2 -15

5 -3 4 -3

4)Вычли 1-ую строку из 2-ой строки и восстановили ее

1 3 -1 -6

0 -18 9 27

5 -3 4 -3

5)Умножили 1-ую строку на 5

5 15 -5 -30

0 -18 9 27

5 -3 4 -3

6)Вычли 1-ую строку из 3-ей строки и восстановили ее

1 3 -1 -6

0 -18 9 27

0 -18 9 27

7)Получили единицу в 2-ом столбце разделив 2-ую строку на -18

1 3 -1 -6

0 1 -1/2 -3/2

0 -18 9 27

8)Умножили 2-ую строку на 3

1 3 -1 -6

0 3 -3/2 -9/2

0 -18 9 27

9)Вычли 2-ую строку из 1-ой строки и восстановили ее

1 0 1/2 -3/2

0 1 -1/2 -3/2

0 -18 9 27

10)Умножили 2-ую строку на -18

1 0 1/2 -3/2

0 -18 9 27

0 -18 9 27

11)Вычли 2-ую строку из 3-ей строки и восстановили ее

1 0 1/2 -3/2

0 1 -1/2 -3/2

0 0 0 0

Ответ:

x1 = -3/2 - (1/2)x3

x2 = -3/2 + (1/2)x3

x3 - свободная

У меня вот так вышло, не знаю правильно ли так делать.

Метод крамера работает. Просто нужно знать как им пользоваться https://algebra24.ru/reshenie-sistemy-uravnenij-metodom-kramera