Как решить неравенство?

Для начала попробуем малость упростить.

Во-первых, log по основанию 1/3 - это -log по основанию 3, а 0,5 в какой-то степени - это 2 в степени МИНУС эта же степень. Тем самым 4*0,5^(log1/3 (3x+4)) = 4*2^(log3 (3x+4)). Можно отметить ещё, что 4 - это 2^2, так что вот это всё - 2 в какой-то степени, что может понадобиться потом.

Во-вторых, слева имеем 2^(1 + log3 x^2) = 2*2^(2*log3 |x|), что вполне очевидно.

Теперь попробуем причесать внешний вид, перегруппировав члены всех выражений:

2|x|^log3 4 <= 4*2^(log3 (3x+4)) - 2*2^(2*log3 |x|). Ясен пень, что обе части можно сократить на 2, так что окончательно получается |x|^log3 4 <= 2*2^(log3 (3x+4)) - 2^(2*log3 |x|)

Областью допстимых значений для этого неравенства являются два интервала -4/3 < x < 0 и x > 0.

Ну и теперь собсно боевая задача - как-то разобраться, что тут получилось...

Рассмотрим по отдельности случаи положительного и отрицательного значений х.

Для x<0 |x| = -x, так что неравенство можно переписать в виде

-x^log3 4 <= 2*2^(log3 (3x+4)) - 2*2^(2*log3(-x)), или, для лучшего зрительного восприятия,

у^log3 4 <= 2*2^(log3 (4-3у)) - 2*2^(2*log3 у), где у=-х.

Последний член, который с минусом, перепишем в таком виде:

2*2^(2*log3 у) = 0,5*4*2^(2*log3 у) = 0,5*2^(2+2*log3 у) = 0,5*2^(2+2*log3 у) = 0,5*2^[2(1+log3 у)] = 0,5*2^[2(log3 3+log3 у)] = 0,5*2^[2*log3 (3y)] ? 0,5*2^(2*log z), где z ? 3y и для наглядности не написана тройка у логарифма.

При той же замене переменной первый член правой части выглядит как 2*2^log(4-z). Окончательно правая часть после упрощений/переобозначений и прочего принимает такой вид:

2*2^log(4-z)-0,5*2^log z.

Тут важно то, что эта функция при z>0 (а значит и при y>0) монотонная и убывающая. Точно так же монотонна функция у^log 4 (это просто степенная функция), но она возрастает. Значит, если у двух этих функций есть точка пересечения, то она единственная. И такая точка таки есть - это z=3, что соответствует х=-1. Нетрудно убедиться, что эта точка соответствует равенству обеих частей исходного выражения. Значит, интервал 0 > x >= -1 являептся решением неравенства.

Аналогично можно установить, что вторая "вкусная" точка для положительных значений х - это х=4, и вторым решением будет 0 < x <= 4.