Как решить логарифмические уравнения?

Действительно, логарифмы писать на БВ затруднительно. Поэтому будем писать так: log(a)b – это логарифм b по основанию а. Запишем ваше первое задание

log(x)2*log(2x)2=log(4x)2, (1)

Здесь логарифмы берутся от одного и того же числа 2, но по разным основаниям х, 2х и 4х. Это неудобно. Надо перейти к логарифмам по одному и тому же основанию. Для этого имеется следующая формула для перехода от основания «с» к другому основанию «а».

Или в нашей записи log(a)b=log(c)b/log(c)a. (2)

В вашем примере удобно перейти к основанию с=2. По приведенной формуле (2) преобразуем все 3 логарифма в вашем уравнении. 1) Имеем для первого логарифма log(x)2 = log(2)2/log(2)x = 1/log(2)x. Так как log(2)2=1. 2) log(2x)2 = log(2)2/log(2)2x = 1/log(2)2x и точно также 3) log(4x)2 = log(2)2/log(2)4x = 1/log(2)4x. Ваше уравнение (1) переходит к следующему виду 1/log(2)x*1/log(2)2x=1/log(2)4x. Отсюда имеем

log(2)4x=log(2)x*log(2)2x. (3)

Но мы знаем, что логарифм произведения равен сумме логарифмов. Поэтому log(2)4x= log(2)4+log(2)x=2+log(2)x. И log(2)2x=log(2)2+log(2)x=1+log(2)x. Тогда из (3) получаем

2+log(2)x=log(2)x*(1+log(2)x)). Или 2+log(2)x-log(2)x-(log(2)x)^2. Или (log(2)x)^2=2. Значок ^ означает возведение в квадрат. Например, 3^2=9. То есть, имеем (log(2)x)=sqrt2, где sqrt2 квадратный корень из 2 (произошло из английских слов square root). Отсюда имеем

х=2^sqrt2. То есть х равно 2 в степени квадратный корень из 2.

А теперь ваш второй пример

x^(3-lg(x/3)=900 (1)

Прологарифмируем это уравнение. [3-lg(x/3)]lgx=lg900. (3-lgx+lg3)lgx=lg900. 3lgx-lg^2x+lg3*lgx=lg900. lg^2(x)-(3+lg3)lgx+lg900=0. Получили квадратное уравнение. Сделаем для простоты замену переменных

y=lgx (2)

Тогда уравнение примет следующий вид

y^2-(3+lg3)y+lg900=0. (3)

Для определения корней этого уравнения сначала надо найти так называемый дискриминант

D=b^2-4ac = (3+lg3)^2-4lg900. lg900=lg(9*100)=2+lg9=2+2lg3. Тогда имеем D=9+6lg3+lg^2(3)-8-8lg3 = 1+lg^23-8-8lg3 = 1+lg^2(3)=(1-lg3)^2. Получаем sgrtD=1-lg3.

Квадратное уравнение (3) имеет 2 решения, см. и (2)

lgx=[(3+lg3)+-(1-lg3)]/2. Здесь значок +- означает математический знак плюс – минус. То есть имеется 2 решения, одно с + и второе с -. Вот первое решение

lgx1=2

и второе решение

lgx2=(2+2lg3)/2=1+lg3.

Отсюда для х имеем

х1=100 и х2=10^(1+lg3), то есть 100 и 10 в степени (1+lg3).