Как решать такие задачи прямая y=-4x-11 является касательной к графику…?

Нужно вспомнить одно из определений производной: "Производная от любой функции (в заданной точке) равна УГЛОВОМУ КОЭФФИЦИЕНТУ касательной, проведённой к заданной функции в этой точке.

Уравнение прямой y=-4x-11, т. е. её угловой коэффициент равен (-4).

Значит нужно найти производную к заданной функции y=x^3+7x^2+7x-6 и вычислить, при каком значении "х" она равна заданному значению (-4).

Итак, находим производную. y'=(x^3+7x^2+7x-6)'=3x^2+14x+7.

Решаем уравнение 3x^2+14x+7=-4,

3x^2+14x+11=0,

х=(-14+-v(196-132))/6=(-14+-8)/6.

х1=-11/3, х2=-1

Полученный результат означает, что к графику функции y=x^3+7x^2+7x-6 можно провести касательные с угловым коэффициентом равным (-4) В ДВУХ ТОЧКАХ, абсцисса одной равна (-11/3), второй (-1). Чтобы из этих двух точек выбрать одну, нужно вычислить значения этой функции и ординаты точек прямой у=-4х-11 в обеих точках, т. е. при обоих значениях х.

При х =-11/3, значение функции равно 355/27, а значение ординаты прямой равно 11/3 (99/27). Значит точка с абсциссой (-11/3) не является искомой точкой.

При х =-1, значение функции равно -7, и значение ординаты прямой тоже равно -7. Значит (-1; -7) и есть искомая точка.