Как разделить прямоугольный лист на три части, пользуясь только сгибанием?

В повседневной жизни иногда возникает ситуация разрезать кусок ткани (шнура, провода и т. д.) на три части. При этом мы просто «на глаз» складываем его втрое. Зачастую с первого раза получается не совсем точно. По этой причине приходится повторно проводить данную процедуру с коррекцией места первого перегиба.

Деление прямоугольного листа бумаги точно на три равных части следует рассматривать как задачу, для решения которой следует применить геометрические построения сгибанием. Автор вопроса предложил свой оригинальный способ, используя свойство медиан треугольника. Метод, описанный Galina7v7 не верный, точнее он справедлив только в одном единственном случае, когда стороны листа относятся как 2:1.

Рассмотрим три варианта решения поставленной задачи, которые были специально разработаны мною в плане данного вопроса.

Для правильного восприятия рисунков сгибы изображены пунктирами линиями, вспомогательные – синим цветом, а основные, осуществляющие искомое деление, – красным. Сгибы пронумерованы в порядке их создания. Дополнительно, с целью разъяснения материала черным цветом начертаны тонкие линии, которые при практическом делении листа отсутствуют на бумаге.

• Первый метод

Проведем поперечное сложение листа надвое по линии 1 (см. Рис.1). Затем, используя наклонные сгибы 2 и 3, получаем прямоугольник АВСD с отношением сторон 2:1. Четвертый изгиб по диагонали АС, полученного прямоугольника, пересекает диагональ ND квадрата NCDT в точке О. Основная линия сгиба 5, проходящая через эту точку параллельно малой стороне исходного прямоугольника отделяет от него третью часть. Делением оставшейся части листа надвое (линия 6) завершаем процесс построения.

Доказательство верности решения установим рассмотрением треугольника NСТ. Здесь NК и ЕС его диагонали по построению, пересекающиеся точке О и делящей их в отношении 1:2. Следовательно, отрезок ОС = 1/3АС.

• Второй метод

Слаживаем продольно лист надвое по линии 1 (см. Рис. 2). Далее сгиб 2 делаем по диагонали прямоугольника. Третий сгиб получаем по линии АЕ, с пересечением диагонали в точке О. Преимущество данного метода заключается в следующем. Во-первых, через точку О можно произвести деление листа натри по желанию как поперек его, так и вдоль, или же вообще - на девять равных частей. Во-вторых, имеем три вспомогательные линии вместо четырех, как в предыдущем случае, что упрощает построение. Следует отметить, точка О является пересечением медиан DС и АЕ треугольника АВС., что однозначно указывает на правильное решение.

• Третий метод

Вдоль листа первым сгибом делим его надвое, а вторым – аналогично надвое одну из полученных половин (линия 2, см. Рис. 3). Затем сложив лист третий раз по линии ВС, получаем на пересечении с первым изгибом заветную точку О, по которой собственно описанным ранее способом строится основные линии, делящие его на три равные части.

Треугольники АВС и NОС имеют коэффициент подобия равный трем, так как АВ:NО = 3/1 согласно построения. Следовательно СО равно 1/3СВ, что и требовалось доказать.

Уточняю, если необходимо лист бумаги разделить на три части вдоль, то для первого и третьего метода достаточно перевернуть его на 90?, а сгибания проводить аналогично рисункам.