Как проверить слово «платочком»? Как правильно писать через О- Е или Ь?

Вы написали это слово правильно.

Проверить гласную в корне можно словом «плат». Это существительное употребляется в двух значениях:

1) платок, убрус (плат, платок, полотенце как головной убор замужней женщины);

2) кусок полотна, холста – большой и обычно отбеленный, использовавшийся в качестве покрывала или скатерти.

Художник В. Суриков изобразил женщину, у которой поверх мягкой шапочки (подубрусника) накинут плат, убрус. Это этюд к картине «Боярыня Морозова». На самой картине мы видим такие платы (убрусы) и шапочки (подубрусники) и на боярыне, и на женщине, которая стоит впереди той, что изображена на этюде.

Гласная О во втором слоге (в суффиксе -ОК-) ударная, никаких сомнений в написании не вызывает, а чтобы правильно написать гласную О в окончании -ОМ, надо вспомнить, что в творительном падеже единственного числа существительные 2-го склонения имеют окончания -ОМ, -ЕМ (-ЁМ). Оснований для написания окончания -ЕМ (-ЁМ) нет, следовательно, пишем -ОМ.

В слове «платочком» мягкий знак (Ь) не пишется, согласно правилу, которое гласит, что в русском языке буквосочетания ЧН, ЧК, НЧ, ЩН, НЩ, РЩ, ЗД, СТ пишутся без мягкого знака между буквами.

Букву Е в данной форме просто некуда вставить, а вот в начальной форме – ПЛАТОЧЕК – она пишется тоже в соответствии с правилом: после шипящих в суффиксах существительных под ударением пишем букву О (девчо?нка, медвежо?нок, снежо?к, творожо?к), а в безударном положении – букву Е (горо?шек, нет пло?шек).

Слово «платочек» образовано от существительного платок при помощи суффикса -ЕК-, при этом в первом суффиксе -ОК- происходит чередование К//Ч. А после шипящих, к коим относится и звук, обозначенный буквой Ч, согласно правилу, в безударном положении пишем букву Е.