Как проинтегрировать рациональные дроби?

а) Вообще элементарно, по правилу: если Int F(x) dx = f(x), то Int F(ax) dx = 1/a*f(ax)

Int dx/(6x-1)^4 = Int (6x-1)^(-4) = 1/6*(6x-1)^(-3)/(-3) + C = -1/18*1/(6x-1)^3 + C

б) Степень числителя больше степени знаменателя, выносим целую часть

Int 2x^3/(x^2+1) dx = Int (2x^3+2x-2x)/(x^2+1) dx = Int (2x - 2x/(x^2+1)) dx = Int 2x dx - Int 2x/(x^2+1) dx

1 интеграл табличный, во 2 делаем замену x^2 + 1 = t, dt = 2x dx

Int 2x dx - Int 2x/(x^2+1) dx = x^2 - Int dt/t = x^2 - ln|t| + C = x^2 - ln|x^2+1| + C

в) Вынесем из числителя производную от знаменателя

(x^2 - 5x + 14)' = 2x - 5

3x - 2 = 3/2*(2x - 5) + 3/2*5 - 2 = 3/2*(2x - 5) + 11/2

Int (3x-2)/(x^2-5x+14) dx = 3/2*Int (2x-5)/(x^2-5x+14) dx + 11/2*Int 1/(x^2-5x+14) dx

В 1 интеграле делаем замену

x^2-5x+14 = t, dt = (2x-5) dx

3/2*Int (2x-5)/(x^2-5x+14) dx = 3/2*Int dt/t = 3/2*ln|t| = 3/2*ln|x^2-5x+14|

Во 2 интеграле знаменатель раскладываем на сумму квадратов.

x^2 - 5x + 14 = x^2 - 2*x*(5/2) + (5/2)^2 - (5/2)^2 + 14 = (x - 5/2)^2 + (14-25/4) = (2x-5)^2/4 + 31/4 = 1/4*((2x-5)^2 + 31)

11/2*Int 1/(x^2-5x+14) dx = 11/2*4*Int 1/((2x-5)^2 + 31) dx = 22*Int 1/((2x-5)^2 + 31) dx

Замена 2x-5 = t, x = (t+5)/2, dx = dt/2

22*Int 1/((2x-5)^2 + 31) dx = 22*1/2*Int dt/(t^2 + 31) = 11/v31*arctg(t/v31) = 11/v31*arctg((2x-5)/v31)

Все вместе

Int (3x-2)/(x^2-5x+14) dx = 3/2*ln|x^2-5x+14| + 11/v31*arctg((2x-5)/v31) + C

г) Раскладываем знаменатель на множители

x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)

И решаем методом неопределенных коэффициентов

2/(x^3 - 8) = A/(x-2) + (Bx+C)/(x^2+2x+4) = [A(x^2+2x+4) + (Bx+C)(x-2)]/(x^3 - 8) = (Ax^2+2Ax+4A+Bx^2+Cx-2Bx-2C)/(x^3 - 8)

система

{ A + B = 0 |x^2

{ 2A-2B+C = 0 |x

{ 4A - 2C = 2 |св. член

Подставляем 1 и 3 ур-ния во 2

{ B = -A

{ C = 2A - 1

{ 2A + 2A + 2A - 1 = 0

A = 1/6, B = -1/6, C = 1/3 - 1 = -2/3 = -4/6

Подставляем в интеграл

Int 2dx/(x^3 - 8) = Int (1/6*1/(x-2) - 1/6*(x+4)/(x^2+2x+4))

1 интеграл табличный, это логарифм, 2 берется по тому же принципу, что и в задаче в).

д) Тоже неопределенными коэффициентами

(3x^2+2)/(x(x+1)^2) = A/x + B/(x+1) + C/(x+1)^2

Первые два - логарифмы, третий равен -C/(x+1)

Коэффициенты сам ищи, мне надоело.