Как проинтегрировать по частям?

При интегрировании по частям нужно функцию разделить на произведение двух, u = той, которая при интегрировании упрощается, или той, которую интегрировать сложнее. Обычно u - это многочлен, если он есть в интеграле.

Формула такая: Int u dv = u*v - Int v du

1) Int x*e^(4x) dx

Здесь выгодно избавиться от x, потому что непонятно, как интегрировать произведение, а просто e^(4x) - легко.

u = x, dv = e^(4x) dx, du = dx, v = 1/4*e^(4x)

Int = x/4*e^(4x) - Int (1/4*e^(4x) dx) = x/4*e^(4x) - 1/16*e^(4x)

2) Int arcsin(9x) dx

Здесь деваться некуда, u = arcsin(9x), потому что других функций у нас нет.

u = arcsin(9x), dv = dx, du = 9/v(1 - 81x^2) dx, v = x

Int = x*arcsin(9x) - Int (9x)/v(1 - 81x^2) dx

Тут имеет смысл применить замену, 1 - 81x^2 = y, dy = -162x dx, поэтому 9x dx = -dy/18

Int = x*arcsin(9x) + 1/18*Int dy/vy = x*arcsin(9x) + 1/18*Int y^(-1/2)dy = x*arcsin(9x) + 1/18*(-2)*y^(1/2) = x*arcsin(9x) - 1/9*v(1-81x^2) + C

3) Int (x^3-2x)*ln(3x) dx

Здесь, как и в первом, u = многочлену

u = x^3 - 2x, dv = ln(3x) dx, du = (3x^2 - 2) dx, v = 1/x

Int = (x^3 - 2x)/x - Int (3x^2 - 2)/x dx = x^2 - 2 - Int (3x) dx + Int (2/x) dx = x^2 - 2 - 3x^2/2 + 2ln |x| + C

4) Int cos(ln 2x) dx

Здесь, как в номере 2

u = cos(ln 2x), dv = dx, du = sin(ln 2x)*1/x dx, v = x

Int = cos(ln 2x)*x - Int x*sin(ln 2x)*1/x dx = cos(ln 2x)*x - Int sin(ln 2x) dx

Новый интеграл такой же непонятный, как старый, поэтому берем снова по частям.

u = sin(ln 2x), dv = dx, du = -cos(ln 2x)*1/x dx, v = x

Int cos(ln 2x) dx = cos(ln 2x)*x - sin(ln 2x)*x + Int x*cos(ln 2x)*1/x dx = cos(ln 2x)*x - sin(ln 2x)*x - Int cos(ln 2x) dx

Получилось интересное уравнение:

Int cos(ln 2x) dx = cos(ln 2x)*x - sin(ln 2x)*x - Int cos(ln 2x) dx

Отсюда

2*Int cos(ln 2x) dx = cos(ln 2x)*x - sin(ln 2x)*x

Поэтому

Int cos(ln 2x) dx = x/2*(cos(ln 2x) - sin(ln 2x))

5) Int (x^2-2x-1)*e^x dx

Здесь опять, как в 1

u = x^2-2x-1, dv = e^x dx, du = 2x-2 dx, v = e^x

Int = (x^2-2x-1)*e^x - Int (2x-2)*e^x dx

Упростили, но не совсем, придется второй раз по частям брать

u = 2x-2, dv = e^x dx, du = 2dx, v = e^x

Int = (x^2-2x-1)*e^x - (2x-2)*e^x + Int 2e^x dx = e^x*(x^2-4x+1) + 2e^x + C = e^x*(x^2-4x+3) + C

6) Int ln((1-x)/(1+x)) dx

Опять, как в номерах 2 и 4, функция только одна.

u = ln((1-x)/(1+x)), dv = dx, du = (1+x)/(1-x)*(-(1+x)-(1-x))/(1+x)^2 dx, v = x

Int = x*ln((1-x)/(1+x)) - Int x*(-1-x-1+x)/((1-x)(1+x)) dx = x*ln((1-x)/(1+x)) + 2*Int x/((1-x)(1+x)) dx

Последний интеграл нужно брать методом неопределенных коэффициентов.

x/((1-x)(1+x)) = A/(1-x) + B/(1+x) = (A(1+x) + B(1-x))/((1-x)(1+x)) = (x(A-B)+(A+B))/((1-x)(1+x))

Система

{ A - B = 1

{ A + B = 0

Отсюда

A = 1/2; B = -1/2

Int = x*ln((1-x)/(1+x)) + 2*Int (A/(1-x) + B/(1+x)) dx = x*ln((1-x)/(1+x)) + Int (1/(1-x) - 1/(1+x)) + C =

= x*ln((1-x)/(1+x)) + ln(1-x) - ln(1+x) + C = x*ln((1-x)/(1+x)) + ln((1-x)/(1+x)) = ln((1-x)/(1+x))*(x - 1) + C