Как правильно пишется слово: разноСЧик или разноЩик?

Сначала стоит определиться с лексическим значением заданного слова, построить словообразовательную цепочку,

затем выделить корень, после чего разбираться с суффиксом.

Очевидно, что тот, кто разносит газеты, журналы по нашим почтовым ящикам,

а иногда заносит прямо в квартиру, а также разные рекламные проспекты, и есть разносчик (так правильно пишется это слово).

Словообразовательная цепочка: нести => разнести => разносить => разносчик.

Из нее легко определяются все морфемы существительного раз/нос/чик, в том числе корень НОС-.

Здесь и сделаем остановочку, чтобы внимательно посмотреть на корень, вернее, на какую согласную он оканчивается и вспомнить правило, по которому определяется, какой суффикс следует прилепить к заданному существительному.

А оканчивается корень на согласную с.

Теперь можно применить известное правило, согласно которому после последней корневой согласной с пишется суффикс -чик.

Таким образом, правильно писать разносчик (как и доносчик, переписчик).

Этот же суффикс чик пишется, согласно упомянутому правилу, и после согласных **з, ж, д, т, **, например,

рассказчик, перебежчик, объездчик, вертолётчик.