Как правильно пишется почЕрк или почИрк, хЕрург или хИрург?

Если слово хирург действительно нужно смотреть по словарю, а увиденное запомнить, то со словом почерк ситуация иная.

У слова почерк есть однокоренные, но специфика фонемы <э> в ударной позиции в русском языке заключается часто в том, что он выражается звуком [o], который на письме выражается буквой ё или е (у тех, кто не любит точки).

Если у слова черкать существует два варианта: черкaть и чёркать, то у производных от него (зачёркивать, вычёркивать, перечёркивать) ударение падает именно на корневой е/ё.

Конечно, можно не забивать себе голову всеми этими бегающими ударениями и чередующимися гласными, просто запомнить правописание по словарю, но если есть желание выработать сознательное отношение к родному языку, то всё же стoит посвятить некоторое время изучению всех этих странностей поведения звуков.

В русском языке есть достаточно большая группа слов, которые не поддаются проверке. Их следует просто запомнить.

Слово хИрург к ним тоже относятся. Поэтому мы зрительно запоминаем слово или можно потренироваться и закрепить письменный навык (рука сама пишет не задумываясь).

Слово почерк можно попробовать проверить словом чЁркать.

Вместе с данными словами запоминаем и однокоренные.

Почерк или почирк.

Правильно пишется почерк.

Почерк проверяем словами черкать, чёркает, зачеркнул, начеркать, вычёркивать, зачёркивать.

Херург или хирург.

Правильно пишется хирург.

Хирург проверяем словами хирургический, хирургия.

Слово почерк и хирург надо запомнить.

Правильно писать почерк и хирург. Это непроверяемые слова надо запомнить.