Как правильно писать: щуриться или щурится?

Оба написания верны, так как слова эти являются разными формами одного глагола ЩУРИТЬСЯ.

Среди правил написания русских глаголов правило о концовках -ТЬСЯ, -ТСЯ представляет для школьников особую трудность в плане применения, хотя запоминается в целом неплохо. Оно и понятно: звуковое содержание таких неравных в количестве букв концовок совершенного одинаковое: [ЦА], так что какое бы буквенное оформление мы ни выбрали (хоть в соответствии с нормами правописания, хоть вопреки им – когда Ь пишем в тех глаголах, где он не нужен, но пропускаем там, где он необходим), произнесём мы данные концовки абсолютно одинаково: [ЦА].

А вот само это буквенное оформление зависит от словоформы, с коей мы дело имеем в конкретном предложении или хотя бы в словосочетании. И чтобы правильно написать одинаково звучащие -ТЬСЯ / -ТСЯ, мы используем правило, о коем сказано в абзаце первом. В нём (правиле) говорится следующее:

• -ТЬСЯ пишется в начальной глагольной форме, называемой неопределённой, инфинитивом, а распознать сию форму нам помогают вопросы ЧТО ДЕЛАТЬ? (смотреться, лишаться, стариться) и ЧТО СДЕЛАТЬ? (посмотреться, лишиться, состариться);
• -ТСЯ – в словоформах лица 3-го обоих чисел (хотя нас, согласно вопросу, сегодня больше интересует число единственное), распознающихся благодаря вопросам ЧТО ДЕЛАЕТ / ДЕЛАЮТ? (смотрится / смотрятся; лишается / лишаются; старится / старятся) и ЧТО СДЕЛАЕТ / СДЕЛАЮТ? (посмотрится / посмотрятся, лишится / лишатся, состарится / состарятся).

Это несложное правило дети часто запоминают немного иначе, упрощённо, без использования лингвистической терминологии: в глаголах пишем

• -ТЬСЯ, если в вопросе к нему есть Ь;
• -ТСЯ, если в вопросе нет Ь.

И хотя я сама не сторонница подобного упрощения, всё же понимаю: главное – научить школьников правописанию и не столь важно при этом, будут ли они отчеканивать правила так, как они даны в учебниках, или изложат их просто до примитивности, но верно по сути.

Замечу: изложенное мной в двух вариантах правило касается всех глаголов с постфиксом -СЯ (возвратных – так их называют), но особую сложность сложность представляют глаголы, в коих написание инфинитива и 3-го лица числа единственного отличаются лишь наличием и отсутствием Ь. Среди них есть формы, различающиеся в произношении местом ударения, например:

• клони?ться – кло?нится;
• моли?ться – мо?лится;
• надуши?ться – наду?шится;
• жени?ться – же?нится и пр.,

и есть формы, в произношении полностью совпадающие:

• говори?ться – говори?тся;
• кручи?ниться – кручи?нится;
• реши?ться – реши?тся;
• глуми?ться – глуми?тся и пр.

Последние вызывают самые большие затруднения в выборе Ь, если он нужен, и в отказе от сей буквы, когда она неуместна. И как раз к таким глаголам относится указанная в вопросе пара ЩУ?РИТЬСЯ – ЩУ?РИТСЯ.

Следует также обратить внимание на тот факт, что такие пары мы обнаруживаем среди глаголов 2-го спряжения, оканчивающихся на -ИТЬСЯ в инфинитиве и на -ИТСЯ в названной уже личной форме. В подобных глаголах при образовании личных форм суффикс инфинитива -И отсекается, а морфема -ТЬ, считающаяся частью учёных окончанием, а другой частью – суффиксом формообразующим, заменяется личным окончанием, в нужной нам словоформе это -ИТ, что понятно далеко не всем школьникам, а потому и ошибки при написании таких глаголов, особенно словоформ 3-го лица, наиболее часто допускаются:

• прихорош-и ть-ся => прихорош-ит-ся;
• прищур-и-ть-ся => прищур-ит-ся.

С глаголами 1-го спряжения проще, так как в большинстве случаев (но не всегда) окончание -ЕТ добавляется к основе инфинитива (отсечения суффикса не происходит):

• слуша-ть-ся => слуша-ет-ся;
• прихорашива-ть-ся => прихорашива-ет-ся.

Отмечу особо, что во всех глаголах-исключениях на -ИТЬ такое отсечение имеет место быть:

• расстел-и-ть-ся => расстел-ет-ся;
• побр-и-ть-ся => побре-ет-ся;
• зижд-и-ть-ся => зижд-ет-ся.