Как правильно написать «был одним из восьмерых» или «был одним из восьми»?

ВОСЬМЕРО - числительное собирательное. Таких числительных немного в русском языке, но даже среди них одни употребляются в нашей речи чаще (двое, трое, четверо), а другие (читай: остальные) гораздо реже.

Есть определенные правила употребления числительных собирательных, и они применяются в зависимости от того, в каких сочетаниях, с какими существительными эти числительные хочется употребить.

Что касается конкретно приведенного в вопросе в качестве примера предложения, то здесь числительное собирательное употреблено в сочетании с существительным дети, а с этим существительным (как и с существительными ребята, люди, лицо (когда оно употребляется в значении человек) сочетаются именно собирательные числительные.

"Был одним из восьмерых детей" - так правильней говорить, это соответствует литературным нормам языка.

Однако... ДОПУСКАЕТСЯ и вариант употребления с такими существительными сочетания их с числительными количественными: "был один из восьми детей".

Естественно, это уже вариант разговорной речи, просторечия.

Но оба варианта имеют место быть в жизни.