Как правильно измерять массу объектов?

При любом измерении "правильно" означает учёт всех возможных источников погрешности и, по возможности, компенсация влияния таких источников. В частности, для определения массы источниками погрешности может быть сам метод (определение массы по весу тела - ясен пень, что этот вес зависит ещё и от g в точке взвешивания), влияние среды (выталкивающая сила со стороны воздуха), неточность или низкая чувствительность инструмента, посторонние силы, действующие на тело (скажем, со стороны магнитного поля), неинерциальность системы отсчёта... да мало ли что ещё.

Чаще всего для определения массы используются компенсационные методы, они в значительной мере позволяют устранить или хотя бы снизить влияние разных факторов. Это обычные рычажные весы, где определение массы образца производится путём сравнения с массами эталонов (гирь). Тут сразу становится по фигу, какое именно g в точке взвешивания. А если поместить такие вемы под вакуумный колпак, то по фигу становится и выталкивающая сила со стороны воздуха (именно так сравнивают друг с другом эталоны килограмма).

Второй способ, не зависящий от g и от выталкивающей силы, - пружинный маятник. Частота колебаний пружинного маятника определяется исключительно жёсткостью пружины и массой груза. Таким способом взвешиваются космонавты на станции - рычажные весы там не работают, потому как невесомость.

Ну и экзотический способ - определение массы по закону всемирного тяготения. Собсно, как иначе определить массу небесных тел, кроме как по этому закону...