Как писать правильно НАПРИМЕР или НА ПРИМЕР?

Все зависит от лексического значения слова и его функции в предложении. Ваш второй вариант обозначает что-то вроде берите пример из математики, т. к. предлог "на" употреблен с существительным "пример". А у первого слова(слитное написание) это как бы предположение мыслей.

Слово -например-, написанное слитно это вводное слово, при письме обозначается запятыми:

Несерьезные люди, например, как мой брат. Если после слова -например- будет перечисление чего-нибудь, то ставим двоеточие.

В этом слове две приставки -на, -при

-мер- это корень

Есть отдельное слово -пример- математический может быть, из поведения пример, среди предметов.

-На- может быть раздельно в таком случае:

Посмотрите на примере поведения человека, - здесь можно вставить слово: Посмотрите на этом примере поведения человека.

Может быть и "например" и "на пример". Второй вариант возможно только при рассмотрении внутри предложения. Итак, вот мой пример раздельного написания слова "например" (так-то оно пишется слитно):

"Ученики, обратите внимание на пример, размещенный на доске!"

То есть тут используется слово "пример", а "на" - это просто предлог.

Как писать правильно НАПРИМЕР или НА ПРИМЕР - это зависит от смысла этого слово в каком то конкретном предложении. Если слово "на пример" указывает на что то, тогда писать нужно раздельно, а если слово "например" имеет значение продолжение мысли, тогда слитно.