Как определить делится ли число на 11, не производя деления?

Для того, чтобы определить, делится ли одно число на другое, не произведя вычислений, пользуются признаками делимости.

В курсе теории чисел доказывается общий признак делимости Паскаля, который позволяет вывести признаки делимости на разные натуральные числа. Он изложен в утверждении, которое можно посмотреть, к примеру, в википедии.

Рассмотрим частный случай: признак делимости на 11.

После несложных преобразований имеем:

Прежде, чем переформулировать эти два равносильных утверждения как признак (необходимое и достаточное условие) делимости на 11**, вспомним понятие делимости.

Будем говорить, что одно целое число m делится на целое число n** или m кратно n, если существует целое число g, что выполняется равенство: m = n*g. Например 24 кратно 3, так как существует 8, что выполняется равенство: 24=3*8.

А теперь сформулируем признак делимости на 11:

Натуральное число m делится на натуральное число 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах.

Или

ПРИМЕР. Не вычисляя, с помощью признака делимости на 11 проверим, делится ли число 54561122 на 11. Найдем сумму цифр, стоящих на нечетных местах (последняя цифра, затем третья с конца, т. е. через цифру следующая, затем 5-я с конца и т. д.): 2+1+6+4=13. Найдем сумму цифр, стоящих на четных местах (вторая цифра с конца, 4-я, 6-я и т. д.): 2+1+5+5=13. Вычтем из первой суммы вторую: 13-13=0, 0 делится на 11. Значит, данное число делится на 11.