Как одинаковым способом графически извлекать v(n), где n целые числа?

Извините, но хочу вставит свои 5 копеек:решить эту задачу для любого n не представляется возможным , иначе бы проблемы иррациональности не существовало. Однако прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1 = v2 и вполне реальный отрезок. А вот для чисел не равным сумме квадратов двух чисел нужно придумать такую комбинацию из чисел , чтобы привести к заданному n.И если это не возможно, то и проблема не решается. НО...

1)1=1 , v1=1 , 2)2=1+1 - гипотенуза с катетами 1 и 1 , или :1^2 +1 ^2=(v2)^2 , 3)3=2+1 = (v2)^2 +1^2,то есть сначала строим отрезок v2 и делаем его катетом вместе с 1 , 4)(v4)^2=(v2)^2 +(v2)^2 , а v2 умеем строить.

5)(v5)^2= 2^2 +2^2 , (v6)^2 = (v3)^2 +(v3)^2...

Ведь можно так сформировать любое число , но для упрощения найти ближайшее к данному n число , которое равно сумме квадратов натуральных чисел.

Например: 157 , это число находится между 12^2=144 , и 13^2=169,

157 = 144 +13 , значит строим v13.13 = 9 +4 , то есть (v13 )^2=2^2+3^2,

а (v158)^2 = (v157)^2 +1^2.

То есть для простоты построения ищем ближайшее к n число = сумме квадратов натуральных чисел , и добавляем более маленьким недостающим, но уже известным корнем из другого числа.

Ну что... Универсальный способ мне не известен. Впрочем, может, и существует, как знать... Сходу могу предложить разве что рекурсивный способ.

Пусть у нас есть отрезок, равный v(n-1). Тогда из него легко строится отрезок, равный v(n). К концу исходного отрезка строится перпендикуляр, на нём отмечается точка на расстоянии, равном 1, - и вуаля, получается прямоугольный треугольник, гипотенуза которого, как нетрудно убедиться, равна v(n).

Начиная с отрезка, равного 1, таким образом в принципе можно последовательным построением получить искомый отрезок для любого n. Хотя спортивным этот способ назвать и нельзя...

Этот способ можно и усовершенствовать. Любое число можно представить в виде конечной суммы квадратов нескольких чисел. Как минимум в виде суммы квадратов единицы :). Так что если есть какое-то БОЛЬШОЕ число, для которого вот такое базовое, пошаговое построение представляется практически нереализуемым, то его можно разбить на сумму квадратов (или сумму и разность* квадратов) намного меньшего числа членов, и выполнить это построение уже не стопиццот раз, а только два-три-четыре.

*Как из v(n) получить v(n-1) - я уже тоже писал.

Могу предложить универсальный способ построения при помощи линейки с делениями и угольника. Например для корня из 5 это будут катет 2 и гипотенуза 3, для корня из 17 это будет катет 8 и гипотенуза 9, для корня из 12 это будет соответственно 2 и 4 и т. д. Т. е. такие пары можно подобрать для любого целочисленного значения корня. Способ их расчета я приводил в одном из моих вопросов. Ну а как построить прямоугольный треугольник с помощью линейки с делениями и угольника, эту сложнейшую задачу я оставляю на усмотрение каждого решающего. Кстати если дан единичный отрезок, то линейку с делениями можно будет заменить циркулем. И, в принципе, можно и угольник будет заменить простой линейкой, только построение усложнится

Если нам задан отрезок длиной n, то значит мы знаем и длину единичного отрезка.

Можно вполне общеизвестными способами построить отрезок равный среднему геометрическому между двумя заданными.

В данном случае у нас получится отрезок равный sqrt(1 * n)

На всякий случай описываю построение

Рисуем отезок равный n, скажем AB, добавляем в качестве его продолжения единичный отрезок ВС. На отрезке АС, как на диаметре, с помощью циркуля рисуем окружность. Из точки В проводим перпендикуляр к АС. Точка пересечения с окружностью - D.

Из подобия треугольников ADB и CDB вполне очевидно, что BD = sqrt(AB * BC) = sqrt(1 * n) = sqrt(n)

Строим декартову систему координат с единичными отрезками, делениями. Чтобы графически построить отрезок равный v(n)откладываем на оси абсцисс от начала координат О в право отрезок п-1 и обозначим его ОА. От точки А откладываем влево отрезок АВ длиной n+1. Из точки А как из центра проводим дугу радиусом АВ до пересечения с осью ординат и обозначаем точку пересечения С. Половина отрезка ОС будет равна искомому v(n). Доказать это легко по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АОС.

Очень простой способ, хотя, чем больше n, тем больше действий.

Берем квадрат 1 на 1, его диагональ равна v2.

Берем эту диагональ и отрезок 1, строим прямоугольник. Его диагональ равна v3.

И так далее. Чтобы построить vn, нужно n-1 шагов. Хотя шаги можно сократить, используя известные пифагоровы тройки.

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) и другие