Как найти площадь равностороннего треугольника с периметром 12 сантиметров?

Есть формула, напрямую связывающая периметр любого треугольника и его площадь. То есть, достаточно знать периметр треугольника, а в случае равностороннего треугольника расчёт упрощается в разы. Формула Герона выглядит так:

Полупериметр равен 6, все три разности в скобках - 2. Получается корень квадратный из 48. А он равен 6,9280323028.

Примем площадь равной 6,9 квадратным сантиметрам.

И ни синусы, ни высота не нужны.

Точнее и проще, на мой взгляд.

Когда в треугольнике задан периметр . то сразу напрашивается формула Герона , хотя для равностороннего треугольника формула может быть проще.

1)Площадь по формуле Герона :

Сразу найдём полупериметр р = 12\2 = 6 .

Площадь треугольника S = vp*(p - a )*(p - b )*(p - c ) , где а , b , c - стороны треугольника , и в нашем случае a = b = c = p\3 = 12 \3 = 4 , тогда S = v 6 * (6 - 4 ) * ( 6 - 4 ) * (6 - 4 ) = v 6 * 2 * 2 * 2 = v48 = 4*v3 , ответ так и можно оставить.

2)учитывая , что сторона треугольника а = 12\3 = 4 Э а высота , опущенная на основание = v (a^2 - (a/2)^2) = v (a ^2 *v3 )/2 =a * v3/2 . тогда найдём площадь как полупроизведение основания на высоту :

S =a ^2 *v3 /2 *2 = 4*v3

Ответ: площадь равна 4 * v3

Для того, чтобы вычислить площадь равностороннего треугольника по известному периметру данного треугольника, для начала нужно вычислить длину сторон, исходя из известного нам периметра.

Итак, периметр Р = 12 см, а так как треугольник у нас равносторонний, то для определения стороны треугольника мы наш периметр делим на три, а это а = b = c = Р / 3 = 12 / 4 = 4 см.

Теперь можно и перейти к вычислению самой площади равностороннего треугольника, используя формулу Герона, которая выглядит так :

Так как у нас уже известны и периметр и все стороны треугольника, подставляем наши данные в эту формулу и получаем ответ - 6.928 см.

Если школьник ещё не изучал тригонометрию, то задачу можно решить пользуясь теоремой Пифагора. S = 1/2*а*h, где а - сторона треугольника. Все стороны одинаковой длины а=12/3=4. Высота делит сторону на 2 и по теореме Пифагора h^2=a^2-a^2/4=a^2*3/4, h=а*v3/2. S = 1/2*а*а*v3/2=а^2*v3/4=16*v3/4=4*v3=4*1,732...=6,928... квадратных сантиметров.