Как найти площадь произвольного треугольника?
Ответов: 11
Для вычисления площади произвольного треугольника существует просто огромное количество формул.
Всё зависит от того, какие элементы в треугольнике Вам известны.
1) Если известна одна сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне, то площадь легко находится по такой формуле:
S = (1/2) * a * ha
где
S — площадь треугольника;
a — длина некоторой стороны треугольника;
ha — длина высоты, проведённой к этой стороне (именно к стороне a).
2) Если известны две стороны и угол между ними:
S = (1/2) * a * b * sin (C)
где
a, b — длИны известных сторон треугольника;
C — величина угла между этими двумя сторонами.
3) Если известна одна сторона и два прилегающих к ней угла:
S = [c^2 * sin (A) * sin (B)]/[2 * sin (A + B)]
где
c — длина известной стороны треугольника;
A, B — величИны углов, прилегающих к этой стороне.
4) Если известны все три стороны, то применяют формулу Герона:
S = sqrt [p * (p – a) * (p – b) * (p – c)]
где
p — это полупериметр.
Полупериметр находится по формуле
p = (a + b + c)/2.
Общая формула, таким образом, такова:
S = sqrt { [(a + b + c)/2] * [(a + b + c)/2 – a] * [(a + b + c)/2 – b] * [(a + b + c)/2 – c]}
где
a, b, c — длИны сторон треугольника;
sqrt — обозначение квадратного корня.
5) Если известны стОроны и радиус вписанной окружности:
S = pr
или, что то же самое,
S = (a + b + c) * r/2
где
a, b, c — длИны сторон треугольника;
r — радиус окружности, вписанной в треугольник.
6) Если известны стОроны и радиус описанной окружности:
S = (a * b * c)/(4 * R)
где
a, b, c — длИны сторон треугольника;
R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.
7) Если известен радиус описанной окружности и углы:
S = 2 * R^2 * sin (A) * sin (B) * sin (C)
где
R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника;
A, B, C — величИны углов треугольника.
8) Если известны радиус вписанной окружности и все три радиуса вневписанных окружностей:
S = sqrt (r * ra * rb * rc)
где
r — радиус вписанной окружности;
ra, rb, rc — радиусы вневписанных окружностей.
Есть и другие.
Подробнее о треугольниках и их площадях читайте здесь.
По величине углов треугольники делятся на три вида: прямоугольные, остроугольные и тупоугольные и теперь по порядку:
площадь прямоугольного треугольника
ее найти очень просто, ведь гипотенуза прямоугольного треугольник с катетами a и h является диагональю прямоугольника со сторонами a и h и делит его пополам.
S(прямоугольного треугольника)=a*h/2
площадь остроугольного треугольника - в нем все углы меньше 90 градусов
ее тоже найти очень просто, ведь высота опущенная с вершины любого угла всегда падает на основание и делит этот треугольник на два прямоугольных треугольника. Остается только найти эти площади и сложить.
S(остроугольного треугольника)=bh/2+ch/2=(b+c)h/2=аh/2 потому что b+c=а
площадь тупоугольного треугольника - в нем один угол больше 90 градусов
ее найти немного сложнее, ведь высота опущенная к меньшей из двух сторон находится вне треугольника, но тем не менее мы это сделаем
Как видно из рисунка, площадь нужного нам треугольника (красного) равна разности площадей зеленого и синего прямоугольных треугольников.
S(тупоугольного треугольника)=(a+b)*h/2-b*h/2=ah/2
Во всех трех случаях пришли к одной формуле
S(произвольного треугольника)=ah/2
В зависимости от того, какими исходными данными мы владеем можно воспользоваться целым рядом возможных вариаций вычисления площади произвольного треугольника.
Более подробно сами формулы и описание всех значений можете посмотреть в таблице ниже.
Остановимся сперва на том, что же все-таки мы будем считать произвольным треугольником. Во-первых это треугольник у которого стороны могут принимать любые значения, быть равными или нет. Во-вторых то же самое справедливо и к углам, единственное ограничение - сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам. Взяв такой произвольный треугольник мы увидим, что в любом случае мы можем найти в нем медианы, высоты к сторонам, биссектрисы и среднюю линию. Мы можем описать вокруг произвольного треугольника окружность или наоборот вписать ее в треугольник. Мы можем найти стороны зная углы и определить углы зная стороны. И конечно мы можем найти площадь такого треугольника если нам известно хоть что-то из вышеперечисленного. Обычно используются 6 формул, плюс формула Герона, которая лично мне кажется очень громоздкой и неудобной. Вот эти формулы:
Существуют разные формулы. Какую применить, будет зависеть от того, какие у вас имеются данные.
- Вы знаете только одну сторону треугольника, а также высоту, которая проведена к этой стороне.
В этом случае площадь будем находить по следующей формуле: S = (1/2) * a * ha
при этом a — это длина известной нам стороны, а ha — это длина высоты, которая проведена к данной стороне.
- Вы знаете две стороны треугольника и угол, находящийся между ними.
В этом случае площадь будем находить по такой формуле:
S = (1/2) * a * b * sin (C)
при этом а и b — это длины известных нам сторон, C — это величина известного нам угла.
Существует множество способов узнать площадь треугольника. Чтобы подобрать формулу, необходимо отталкиваться от того, какой это тип треугольника и какая у нас есть о нем информация. Проще всего, как по мне, пользоваться формулой Герона.
Теперь рассмотрим типы треугольников: прямоугольный, равнобедренный и равносторонний. Формулы ниже.
Площадь можно вычислить и при помощи следующих формул:
Также площадь треугольника можно вычислить через радиус вписанной или описанной окружности.
Для того чтобы найти площадь треугольника существует много формул, все они применимы в зависимости от ситуации, то есть в зависимости от имеющихся значений. Так, площадь произвольного треугольника можно найти, зная длину стороны (x) и высоту этой длины (hx), которая к ней проведена. **Площадь будет равна 1/2 * х * hx.
Также можно найти площадь, зная две стороны (x и y) и угол между (А) ними таким образом: Площадь равна 1/2*x * y * sin (А).
В данной форме вопроса , дать однозначный ответ невозможно. Но можно озвучить путь, по которому можно решить задачу. Нам нужно превратить имеющийся треугольник в правильный, у которого есть хоть одна известная сторона. Это преобразование не всегда может быть быстрым, но вычислять по другому в данном случае не получится.
Есть разные способы определения площади треугольника.1) Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту; 2) По формуле Герона площадь треугольника равна корню квадратному из произведения p*(p-a)*(p-b)*(p-c), где p - полупериметр; a,b,c - стороны треугольника.
(площадь основания * на высоту)*1/2= площадь любого треугольника.
Площадь основания - одна из сторон
высота - отрезок, выходящий из вершины на сторону (площадь основания) под прямым углом
Если непонятно написал, то выложите задачу, покажу на конкретном примере.
Удобнее всего использовать формулу Герона:
Буквой p обозначается полупериметр. Остальные буквы (a, b, c) - это стороны произвольного треугольника.
Для расчета полупериметра используем следующую формулу:
Похожие вопросы
Добавить комментарий