Как найти область определения функции?

Нужно посмотреть, какой вид имеет функция.

Часто область определения функции просят найти у функций, которые являются дробями, либо же являются иррациональными (содержат один или несколько радикалов), либо содержат логарифм.

Итак, рассмотрим эти три основных случая:

1) если функция имеет вид дроби (дробно-рациональная функция), то её область определения есть то множество значений аргумента, при котором знаменатель не обращается нулю.

Например, функция y = 1/[(x – 1)(x + 2)].

Знаменатель этой функции превращается в нуль при x = –2 и при x = 1.

Следовательно, область определения данной функции будет множество: (-беск.; –2) U (–2; 1) U (1; +беск.)

На числитель можно вообще не обращать внимания. Он не играет роли.

2) если функция содержит хотя бы один радикал чётной степени, то областью её определения будет являться множество значений аргумента, при котором значение каждого радикала чётной степени больше или равно нулю.

Буду обозначать знак корня как sqrt.

Например, имеем функцию: y = [sqrt (x – 3)]*[ sqrt (5 – x)]

Радикал имеет смысл, когда подрадикальное выражение неотрицательно.

А значит, первый радикал имеет смысл при x >= 3, второй — при x <= 5.

Для того чтобы найти область определения данной функции, нужно найти пересечение этих двух множеств. Оно равно [3; 5].

Итак, областью определения функции y = [sqrt (x – 3)]*[ sqrt (5 – x)] равняется множество [3; 5].

3) если функция представляет собой логарифм, то её областью определения служит множество, при котором логарифмируемое выражение строго положительно.

Например, функция y = lg (x – 16). Её областью определения является множество (16; + беск.). Скобка при числе 16 круглая, потому что логарифмируемое выражение должно быть строго больше нуля.

В большинстве прочих случаев (то есть когда функция не содержит ни дробей, ни корней, ни логарифмов)— множеством определения функции является вся числовая прямая.

Например, у функции y = x^3 – 6x^2 + 7 область определения равна R.