Как найти наименьший общий знаменатель?

Наименьший общий знаменатель для двух или более чем двух дробей дробей равен наименьшему общему кратному знаменателей этих дробей.

Таким образом, нахождение наименьшего общего знаменателя для двух или нескольких дробей сводится к нахождению наименьшего общего кратного их знаменателей.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) двух или нескольких чисел, необходимо:

1) разложить все эти числа на простые множители (выполнить каноническое разложение);

2) для нахождения НОК — выписать все множители, которые встречаются в каноническом разложении хотя бы одного из исходных чисел, причём каждый простой множитель следует взять с наибольшим встречающимся показателем;

3) вычислить произведение множителей, выписанных в пункте 2 (с учётом их степеней. Возведение в степень имеет приоритет перед умножением.)

Приведу пример. Нам нужно привести к наименьшему общему знаменателю дроби 11/120 и 13/126.

Для этого нам нужно найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей.

Знаменатели этих дробей равны 120 и 126.

Выполним каноническое разложение этих чисел:

120 = 2^3 * 3 * 5;

126 = 2 * 3^2 * 7.

Находим НОК этих чисел. Для этого нужно выписать все простые множители, которые вообще встречаются в разложении хотя бы одного из этих чисел. В данном случае это множители 2, 3, 5 и 7. Причём каждый из них нужно взять с наибольшим показателем: двойку берём с показателем 3, тройку с показателем 2, пятёрку с показателем 1 и семёрку также с показателем 1.

Итак:

НОК (120, 126) = 2^3 * 3^2 * 5 * 7 = 8 * 9 * 5 * 7 = 2520.

Общий знаменатель равен 2520.

Чтобы привести две или несколько дробей к наименьшему общему знаменателю, нужно:

1) найти этот общий знаменатель, пользуясь вышеприведённым алгоритмом нахождения наименьшего общего знаменателя;

2) найти дополнительные множители для каждой дроби. Для этого найденный общий знаменатель необходимо разделить на знаменатели каждой из приведённых дробей (деление производится по отдельности);

3) помножить числители каждой из исходных дробей на дополнительные множители, найденные в пункте 2.

Например, нужно привести дроби 11/120 и 13/126 к наименьшему общему знаменателю.

1) Находим наименьший общий знаменатель. Он равен 2520.

2) Находим дополнительные множители.

Для первой дроби: 2520 : 120 = 21.

Для второй дроби: 2520 : 126 = 20.

3) Домножаем числители дробей на дополнительные множители.

Для первой дроби: 11 * 21 = 231.

Для второй дроби: 13 * 20 = 260.

Итак, дроби 11/120 и 13/126 после приведения к наименьшему общему знаменателю стали равными 231/2520 и 260/2520.

Несколько слов по поводу нахождения общего знаменателя у дробей, знаменатели которых содержат буквы (переменные или константы).

Если знаменатели двух или нескольких дробей представляют собой многочлены, то для нахождения простейшего общего знаменателя достаточно разложить все знаменатели на одночлены и затем взять произведение всех одночленов, которые встречаются в разложении хотя бы одного знаменателя, при этом взяв каждый одночлен в наибольшей встречающейся степени.

Если же знаменатели выражены одночленами — простейшим общим знаменателем будет одночлен, коэффициент которого равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей-одночленов, а далее следуют все буквы, которые встречаются хотя бы в одном из знаменателей, причём каждую букву необходимо взять с наибольшим встречающимся показателем.

Например, для знаменателей 8a^3c^7d и 12ab^5c^4d^2e простейшим общим знаменателем будет 24a^3b^5c^7d^2e.

Ну а по поводу наибольшего общего знаменателя — не шутка ли это?

Наибольшего общего знаменателя не существует по той причине, что ряд натуральных чисел бесконечен.