К каким лингвистическим единицам относятся следующие пары слов (см.)?

1) Родина – чужбина. Это лексемы с противоположными значениями:

• первая обозначает отечество, отчизну, родную страну, землю, а также место, где человек родился;
• вторая – страну чужую, заграницу, зарубежье.

Это антонимы.

2) Граница – рубеж. Эта пара лексем имеет общие значения:

• линия, что разделяет какие-либо территории либо в пределах одного государства, даже одного населённого пункта или какие-либо необжитые пространства, либо между государствами;
• предел чего-либо, последняя грань, норма предельно допустимая.

Это синонимы.

3) Шуйца – выя. Это лексемы, оказавшиеся в словаре пассивном в связи с тем, что устарели и были заменены иными словарными единицами, синонимами:

• шуйцу ныне мы называем левой рукой;
• выю – шеей.

Устаревшие наименования предметов, продолжающих существовать, называются архаизмами.

4) Боярин – опричник. Это тоже лексемы устаревшие, но, в отличие от шуйцы и выи, называющие предметы и явления, ушедшие из нашей жизни. Эти лексемы необходимы при характеристике определённых периодов исторических:

• боярин – это либо крупный землевладелец периода Древней Руси и Московского государства; либо крупный чиновник в Московском государстве;
• опричник – это дворянин, состоящий в опричнине, особом войске Ивана IV Грозного (XVI столетие).

У таких устаревших лексем нет синонимов в современном языке, а называются они историзмами.

5) Адресат – адресант. Лексемы похожие, но неодинаковые и в написании, и произношении, причём и семантика у них разная:

• адресат получает письма, SMS-сообщения, корреспонденцию по электронной почте и пр.;
• адресант всё перечисленное отправляет.

Перед нами паронимы.

6) Инфинитив – префикс. Значения данных лексем, думаю, нынче понятны очень многим:

• инфинитив – начальная (неопределённая) форма глагола;
• префикс – приставка, морфема, часто участвующая в словообразовании.

Это лингвистические термины, кои, как и термины любой другой науки, относятся к лексике специальной, профессиональной. Хотя в словарях подобные слова часто имеют помету «спец.» или указание на область знаний, где применяются, их называют ещё профессионализмами.

7) Гриб – грипп. Сразу видно и слышно, если произнесём: данные лексемы разные в написании, но одинаковые в произношении. А вот в семантике они ничего общего не имеют:

• гриб – спорами размножающийся организм; на стволе дерева нарост (это значения основные, есть и другие);
• грипп – очень неприятное инфекционное заболевание.

Перед нами разновидность омонимов (полные омонимы при отсутствии общего в значениях пишутся и звучат одинаково) – омофоны.

8) А?тлас – атла?с. А эти лексемы, наоборот, пишутся одинаково, но по-разному произносятся и при этом у них тоже отсутствует общее в семантике:

• а?тлас – сборник карт; а также сборник чертежей, рисунков, таблиц и пр.;
• атла?с – материал и одежда из него.

Это тоже разновидность омонимов – омографы.

9) Тверь – Новгород. Грамматически это собственные имена, названия географические, в частности – названия городов. В лексикологии такие лексемы (их значение, происхождение, употребление) изучаются в разделе, называемом топонимикой, а сами названия городов – топонимами.

10) Сакля – чалма. Лексемы хоть и коротенькие, двусложные, но наличие звука [а] в обоих слогах каждой из них показывает: принадлежат они к лексике заимствованной, иноязычной:

• сакля (из языка грузинского) – жилище кавказского горца, хижина из камня, глины (глинобитная) или самана (глиняные необожжённые кирпичи);
• чалма (из тюркских языков) – мужской головной убор (хотя в последние годы появились и подобные женские уборы), представляющий собой длинный кусок материи, наматываемой на голову.

11) Векша – кочет. А это местные названия белки и петуха. Такие слова изучаются в разделе лингвистики, называемом диалектологией, и именуются диалектными, или диалектизмами.

Правда, векшей называли ещё и денежную единицу Древней Руси (омонимы). Но из сопоставления данного слова с лексемой кочет, ясно: речь идёт, несомненно, о диалектном названии белки.

12) Клава – аська. Думаю, даже чайник способен понять, что в данном случае это вовсе не женские имена. Все мы, участники данного проекта, вряд ли уже можем представить свою жизнь без компьютера, и все в какой-то степени владеем компьютерным сленгом – речью или её элементами, характерными для группы, социально или профессионально обособленной; жаргоном.

Клава (клавиатура), аська

это сленговые слова.