Где пересекаются D в равносторонней трапеции с большим основанием 2R (см.)?

Как и в предыдущем вопросе, равносторонняя трапеция с основанием 2R - это половина 6-угольника.

Проведем две высоты из тупых углов 120 градусов на нижнее основание. Основание разобьется на 3 отрезка: R/2, R, R/2.

Отрезок R/2, высота H и боковая сторона, равная R - это прямоугольный треугольник с катетом R/2 и гипотенузой R.

Значит, высота H = R*v3/2

Диагонали пересекаются на расстоянии H/3 от верхнего основания, то есть h = R*v3/6.

Рассмотрим на картинке треугольник ADO. Это прям-ный тр-ник с углами 30, 60, 90, причем катет AD = R.

Отсюда AO = 2R/v3 = 2R*v3/3 и DO = R*v3/3

То есть эта точка О делит диагонали 1:2. Теперь рассмотрим треугольник CDO. Он равнобедренный с углами 120, 30, 30.

Его высота

h^2 = OD^2 - (CD/2)^2 = R^2/3 - R^2/4 = R^2/12

h = R/v12 = R/(2v3) = R*v3/6

Что и требовалось доказать.