Где ошибка в данном доказательстве равенства двух разных чисел?

Представьте себе... ошибки здесь нет!

Просто выражение 21х - 14у = 15х - 10у есть по сути тождество 0=0..

Проще всего можно убедиться в этом в первом выражении 3х=2у положим, чтобы х=2, а y=3, тогда соблюдается вышеозначенное равенство..

Теперь подставим эти значения в предпоследнее равенство 21х - 14у = 15х - 10у и получим 21*2 - 14*3 = 15*3 - 10*3 или 42-42=30-30 или это будет тождество 0=0..

По сути данное выражение эквивалентно x*0=y*0..

При этом x и y - любые числа, поскольку умножение любого числа на ноль - есть ноль! В данном случае 7*0=5*0..

Подобное получается всегда в равенствах, если выражать одно из другого..

Итог будет - эквивалентный ноль!..

Если продолжать дальше, то lim х->0(x/x)=7/5 или lim х->0(x/x)=5/7, что по сути является раскрытием неопределённости!!

Ошибка заключается в выполнении недозволенной операции - делении на ноль. На ноль делить нельзя! Сокращение на (3x - 2y) - это, согласно начальному условию, и есть деление на ноль. Напомню начальное условие 3х = 2у.

21x - 15x = 6x = 4y, а не 14. Это только первая ошибка.

Увеличите обе стороны в два раза, получите в два раза большую ошибку.

Сокращай, не сокращай... но если посыл неверен, то и результат верным не получится.