Есть ли в русском языке три родственных слова с чередованием букв ч-ц-к?

Если Вы имеете ввиду однокоренные слова, то есть такие слова: дурак - дурачить - дурацкий, а прибавить к ним можно ещё и дурашливый, но это уже более поздняя форма, которая развилась из "дурачливый".

В данных словах отражаются древние процессы в фонетике русского языка - первая и вторая палатализация заднеязычных (г, к, х) перед гласными звуками переднего ряда. Первая палатализация привела к их изменению в шипящие, а вторая - в свистящие. Согласный [к] изменился в [ч] и [ц] соответственно.

Возникает вопрос: а где же в слове дурацкий гласный после согласного [ц]? Он был - сверхкраткий звук "и" [?] (не путать с буквой "и краткое" и обозначаемым ею согласным звуком!), который на письме обозначался буквой Ь. В результате сложных фонетических процессов этот звук в одних позициях исчез, в других прояснился в полногласный звук [э], который в последствии в безударных позициях стал редуцироваться в [i] - словом, было много всякого в древнерусском и праславянском языках за последние тысячи лет, все эти изменения отразились либо в письменных памятниках, либо в диалектах, либо в родственных языках.

Словом, практически любое слово, корень которого завершается звуком [к], имеет шансы "встретиться с роднёй", у которой вместо него [ч] или [ц]. Например, слова казак - казачество - казацкий, рука - ручка, а в древнерусском были и косвенные падежные формы с ц, например, "въ(н) руц?хъ".

Если же Вы имели ввиду что-то другое, тогда я