Докажите иррациональность числа корень квадратный из 2?

Предположим, что оно рациональное. Тогда его можно представить в виде дроби m/n, чисто по определению рационального числа. (m, n - целые числа). Причём дробь можно считать несократимой - если она сократима, ну сократим на фиг, вот эта пара и остнется.

Теперь возведём его в квадрат. Получится m^2/n^2 = 2, или m^2 = 2n^2. Стало быть, m^2 - чётное число. Но квадрат может быть чётрнвм только если само число чётное, т. е m=2k, а квадрат чётного числа делится на 4, т. е. 4k^2 = 2n^2. Видим, что тут можно сократить на 2, получаем 2k^2 = n^2. Ну а тут те же самые рассуждения можно провести относительно числа n и получится, что оно тоже чётное. Тем самым дробь оказывается сократимой, что противоречит исходному предположению.