Что такое неэвклидова геометрия?

Геометрия, основанная на другом наборе аксиом. Отличающемся от того, на котором строится евклидова геометрия.

Чаще всего отличия в аксиоме параллельности: сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку вне прямой. В геометрии Евклида постулируется, в виде аксиомы, что такую прямую провести таки можно, и только одну. А вот если взять и опять же постулировать, что таких прямых вообще нельзя провести, ни одной, - то мы тоже получим некоторую геометрию, но она уже не будет евклидовой. Она будет римановой - именно Риман впервые рассмтрел, что получится при вот таком предположении. И именно такая геометрия выполняется на сфере (прямыми там считаются окружности большго круга). Риманова геометрия имеет очень важное значение для Общей теории относительности.

Можно постулировать, что таких прямых можно провести больше одной. Такая геометрия тоже существует. Собственно, именно такая геометрия из неевклидовых появилась первой. Это геометрия Лобачевского. Она выполняется на повернохсти, называетмой псевдосферой (поверхность постоянной отрицательной кривизны).

Наиболее наглядным следствием из неевклидовости служит то, что сумма углов треугольника не равна 180 градусам (она либо больше, либо меньше - - соответственно для геометрии Римана или Лобачевского), и то, что в таких геометриях не выполняется теорема Пифагора.