Через сколько минут изменится масса изотопа (условия задачи)?

Распад изотопа происходит по экспоненциальному закону

m(t) = m0*2^(-t/T). (1)

Где значок ^ означает возведение в степень, например 4^3 = 64. А 2^(-t/T) – это 2 в степени (-t/T). Начальная масса изотопа: m0 = 80мг, конечная масса m = 10 мг, период полураспада Т = 3 мин. Надо определить время t, за которое масса изотопа уменьшится до 10 мг. Так что в уравнении (1) всё известно, кроме времени t, его и надо найти. Уравнение (1) запишем так

m/m0 = 2^(-t/T). (2)

Букву t в выражении m(t) писать не будем, т.е. m – это конечная масса 10 мг. Прологарифмируем уравнение (2)

lg(m/m0) = (-t/T)lg2 или -(t/T)lg2 = lg(m/m0). Отсюда

(t/T)lg2 = lg(m0/m), (3)

так как – lg(m/m0) = lg(m0/m). Из уравнения (3) находим t/T = lg(m0/m)/lg2. Или

t = Т*lg(m0/m)/lg2. (4)

Считаем t = 3lg(80/10)/lg2 =3lg8/lg2 = 3(lg2^3)/lg2 =3*3 lg2/lg2 = 9. Итак, через 9 минут вместо 80 мг изотопа останется 10 мг.

Но так сложно решается задача в математике. Гораздо проще решить эту задачу «в уме». Было 80 мг изотопа. Каждые 3 минуты количество изотопа уменьшается в 2 раза (это период полураспада). Через 3 минуты изотопа останется 40 мг, еще через 3 минуты останется 20 мг и еще через 3 минуты останется 10 мг. Итого за 3 + 3 + 3 = 9 минут количество изотопа уменьшится с 80 до 10 мг.