Чему равно двузначное число (см.)?

Думаю, что для решения данной задачи достаточно второй части условия.

Мы имеем некое пока неизвестное двузначное число. Обозначим первую его цифру буквой a, а вторую цифру — буквой b. Всё число в целом я обозначу здесь как .

Мы знаем, что обратное число, то есть , составляет 208 % от числа .

Можем написать уравнение:

= * 2,8

В то же время что такое и ? Это соответственно 10b + a и 10a + b.

Имеем:

10b + a = 2,08(10a + b)

a + 10 b = 20,8a + 2,08b

20,8a + 2,08b = a + 10b

20,8a – a = 10b – 2,08b

19,8a = 7,92b |:7,92

2,5a = b.

Мы получили простейшее соотношение цифр искомого числа: вторая его цифра в два с половиной раз больше первой.

Каково же может быть значение a? Очевидно, что b<=9, отсюда 2,5a<=9, a<=3,6. Но, очевидно, a должно быть натуральным числом (a не может равняться нулю, так как в начале числа ноль, как правило, не пишется, и у тогда у нас будет однозначное число, а ведь по условию необходимо двузначное). Кроме того, a непременно должно быть чётным, так как при умножении его на 2,5 получается целое число (b). Единственное чётное натуральное число, меньшее, чем 3,6 — число 2.

Итак, a = 2. Отсюда легко находим b: b = 2,5 * 2 = 5.

Искомое число равно 25.

Разумеется, теперь можно проверить выполнение первого условия задачи:

[(2^2 + 5^2) – 1] : (2 + 5) = (29 – 1) : 7 = 28 : 7 = 4. Вроде всё сходится.

Я пробовал составлять уравнение и по первому условию задачи.

Получается такое вот уравненьице:

a^2 + b^2 = 4a + 4b + 1

или, что равносильно:

b^2 – 4b + a^2 – 4a – 1 = 0

Уж не знаю, можно ли решить его, не применяя метод перебора. Но я честно перебрал все значения для a от 1 до 9. Натуральные решения для b получаются только при a = 2 и при a = 5: 1) a = 2, b = 5; 2) a = 5, b = 2. Итак, мы получили два числа: 25 и 52. Поскольку уравнение для первого условия задачи симметрично, то первому условию удовлетворяет как 25, так и 52. Однако же число 52 не подходит по второму условию (для числа 52 обращённое число меньше исходного). Так что остаётся только одно-единственное число — это 25.